Nel sistema tridimensionale mostrato, il campo magnetico \(\vec{B}\) è diretto lungo l’asse \(y\) (\(\vec{B} = B \, \hat{j}\)).
Una carica \(q\) parte dall’origine con una delle seguenti velocità:
- a) \(|\vec{v}_a| = 1 \, \text{m/s}\) lungo \(\hat{i}\)
- b) \(|\vec{v}_b| = 3 \, \text{m/s}\) lungo \(\hat{j}\)
- c) \(|\vec{v}_c| = 5 \, \text{m/s}\) lungo \(\hat{k}\)
- d) \(|\vec{v}_d| = 2 \, \text{m/s}\) con \(\vec{v}_d = \frac{\sqrt{2}}{2} \hat{i} + \frac{\sqrt{2}}{2} \hat{j}\)
Calcola l’intensità e la direzione della forza
\(\vec{F} = q \vec{v} \times \vec{B}\)nei quattro casi.
Esercizio 17: soluzione
a) \(\vec{v}_a = \hat{i}\), \(\vec{B} = \hat{j} B\)
\(\vec{F} = q \vec{v} \times \vec{B} = q \hat{i} \times \hat{j} B = qB \hat{k}\)
Direzione: asse \(z\) verso positivo
b) \(\vec{v}_b = 3 \hat{j}\)
\(\vec{F} = q \vec{v} \times \vec{B} = 3q \hat{j} \times \hat{j} B = 0\) Forza nulla, \(\vec{v} \parallel \vec{B}\)
c) \(\vec{v}_c = 5 \hat{k}\)
\(\vec{F} = q \vec{v} \times \vec{B} = 5q \hat{k} \times \hat{j} B = -5qB \hat{i}\)
Direzione: asse \(x\) verso negativo
d)\(\vec{v}_d = \frac{\sqrt{2}}{2} \hat{i} + \frac{\sqrt{2}}{2} \hat{j}\)
\(
\vec{F} = q \vec{v} \times \vec{B} = q \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \hat{i} + \frac{\sqrt{2}}{2} \hat{j} \right) \times \hat{j} B
= qB \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} (\hat{i} \times \hat{j}) + 0
= qB \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \hat{k}
\)
Direzione: asse \(z\),verso positivo
Risultati finali:
- a) \(F = qB\)verso\(+\hat{z}\)
- b) \(F = 0\)(nessuna forza)
- c) \(F = 5qB\)verso\(-\hat{x}\)
- d) \(F = qB \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\)verso\(+\hat{z}\)