Trova la velocità angolare di un protone immerso in un campo magnetico, dotato di energia cinetica di:
\( E_k = 30 \, \text{GeV} = 4{,}8 \cdot 10^{-9} \, \text{J} \)che descrive una traiettoria circolare di raggio:
\( R = 100 \, \text{m} \)Nota: Il problema va trattato in forma relativistica.
Dati noti:
- \( m = 1{,}67 \cdot 10^{-27} \, \text{kg} \)
- \( c = 3 \cdot 10^8 \, \text{m/s} \)
Soluzione:
Energia totale relativistica:
\( E = E_k + mc^2 = 4{,}8 \cdot 10^{-9} + 1{,}5 \cdot 10^{-10} = 5{,}43 \cdot 10^{-9} \, \text{J} \)Massa relativistica:
\( m_{\text{rel}} = \frac{E}{c^2} = \frac{5{,}43 \cdot 10^{-9}}{9 \cdot 10^{16}} = 6{,}03 \cdot 10^{-26} \, \text{kg} \)Impulso relativistico:
\( p = \sqrt{E^2 - (mc^2)^2}/c \) (non calcolato esplicitamente)
Velocità angolare:
\( \omega = \frac{v}{R}, \quad v = c \cdot \sqrt{1 - \left( \frac{mc^2}{E} \right)^2 } \)Sostituendo i valori:
\( \omega = \frac{c}{R} \cdot \sqrt{1 - \left( \frac{1{,}5 \cdot 10^{-10}}{5{,}43 \cdot 10^{-9}} \right)^2 } = 4{,}18 \cdot 10^{-6} \, \text{rad/s} \)Risultato finale:
- \( \boxed{\omega = 4{,}18 \cdot 10^{-6} \, \text{rad/s}} \)