Esercizio 13

DiAlfredo Di Fiore

Per il principio del generatore equivalente:

E_2 = R_3 I_0 = 6 \sqrt{2} e^{j45^\circ} V

Il parallelo fra R2​ ed L con:

X_L = j\omega L = j 10^3 \cdot 3 \cdot 10^{-3} = j3 \ \Omega

Z_P = \frac{R_2 X_L}{R_2 + X_L} = \frac{j3 \cdot 6}{6 + j3} = \frac{-j18}{6 + j3}

Z_P = \frac{j18 \cdot (6 - j3)}{(6 + j3)(6 - j3)} = \frac{j108 - j^2 54}{36 + 9} = \frac{54}{45} + j\frac{108}{45} = (1,2 + j2,4) \ \Omega

Z_S = R_3 + Z_P = 1 + 1,2 + j2,4 = (2,2 + j2,4)\ \Omega

E_1 = 3\sqrt{2} e^{-j60^\circ} = 3\sqrt{2} \cos(-60^\circ) + j 3\sqrt{2} \sin(-60^\circ) = (2,12 - j3,67) V

E_2 = 6\sqrt{2} e^{j45^\circ} = 6\sqrt{2}\cos(45^\circ) + j6\sqrt{2}\sin(45^\circ) = (6 + j6) V

Nel circuito equivalente di Thevenin ai capi di C:

i = \frac{\overline{E_1} + \overline{E_2}}{R_1 + Z_S} = \frac{2,12 - j3,67 + 6 + j6}{3 + 2,2 + j2,4} = \frac{8,12 + j2,33}{5,2 + j2,4}

i = \frac{8,44 , e^{j16^\circ}}{5,72 , e^{j24^\circ}} = 1,47 e^{-j8^\circ} A

V_{AB} = V_1 - E_1 = R_1 i - E_1 = 3 \cdot 1,47 e^{-j8^\circ} - (2,2 - j3,67)

V_1 = 3 \cdot 1,47 e^{-j8^\circ} = 4,42 \cos(-8^\circ) + j4,42 \sin(-8^\circ) = (4,37 - j0,65) V

V_{AB} = (4,37 - j0,65) - (2,2 - j3,67) = (2,25 + j3) V

In forma polare:

E_{EQ} = 3,75 e^{j53^\circ} V

È palese che:

Z_{EQ} = R_1 // Z_S = \frac{3(2,2 + j2,4)}{5,2 + j2,4} = \frac{6,6 + j7,2}{5,2 + j2,4} = \frac{9,76 e^{j47^\circ}}{5,72 e^{j24^\circ}} = 1,7 e^{j23^\circ} \ \Omega

Z_{EQ} = 1,7 \cos(23^\circ) + j1,7 \sin(23^\circ) = (1,56 + j0,66)\ \Omega

X_C = -\frac{1}{\omega C} = -j \frac{1}{10^3 \cdot 500 \cdot 10^{-6}} = -j2 \ \Omega

La corrente nel circuito:

i = \frac{E_{EQ}}{Z_{EQ} + X_C} = \frac{3,75 e^{j53^\circ}}{1,56 + j0,66 - j2} = \frac{3,75 e^{j53^\circ}}{1,56 - j1,34}

i = \frac{3,75 e^{j53^\circ}}{2 e^{-j40^\circ}} = 1,875 e^{j93^\circ} A

Q = X_C I^2 = 2 \cdot \left(\frac{1,875}{\sqrt{2}}\right)^2 = 3,51 \ \text{VAR}

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