Esercizio 22 -

È dato un trasformatore con i seguenti dati di targa:

$S_n=30\ \text{kVA},\quad V_{1n}=1000\ \text{V},\quad V_{20}=250\ \text{V}.$

Dalle prove eseguite si ha:
$\cos\varphi_0=0{,}2,\quad \cos\varphi_{cc}=0{,}5,\quad P_{cc}=750\ \text{W},\quad P_0=375\ \text{W}.$

La macchina alimenta un carico ohmico-induttivo in cui scorre una corrente $I_2=50\ \text{A}$ con $V_2=240\ \text{V}$ e $\cos\varphi=0{,}8$ .

Determinare:

la tensione $V_1$ di alimentazione,

la corrente primaria $I_1$ ,

il cosφ e i parametri del circuito equivalente.

Soluzione

1. Correnti nominali
$I_{2n}=\frac{S_n}{V_{20}}=\frac{30000}{250}=120\ \text{A}.$

2. Dati da prova in corto circuito
$S_{cc}=\frac{P_{cc}}{\cos\varphi_{cc}}=\frac{750}{0{,}5}=1500\ \text{VA},$

$Q_{cc}=\sqrt{S_{cc}^2-P_{cc}^2}=\sqrt{1500^2-750^2}=1300\ \text{var}.$

Reattanza e resistenza ridotte al secondario:
$X_{2eq}=\frac{Q_{cc}}{I_{2n}^2}=\frac{1300}{120^2}=0{,}09\ \Omega, \qquad R_{2eq}=\frac{P_{cc}}{I_{2n}^2}=\frac{750}{120^2}=0{,}052\ \Omega.$

3. Dati da prova a vuoto
$S_0=\frac{P_0}{\cos\varphi_0}=\frac{375}{0{,}2}=1875\ \text{VA},$

$Q_0=\sqrt{S_0^2-P_0^2}=\sqrt{1875^2-375^2}=1837\ \text{var}.$

Resistenze e reattanze a vuoto:
$R_0=\frac{V_{1n}^2}{P_0}=\frac{1000^2}{375}=2{,}67\ \text{k}\Omega,$
$X_0=\frac{V_{1n}^2}{Q_0}=\frac{1000^2}{1837}=0{,}544\ \text{k}\Omega.$

4. Corrente secondaria complessa
$\varphi=\arccos(0{,}8)=36{,}9^\circ,$

$I_2=I_2(\cos\varphi-j\sin\varphi)=50(0{,}8-j0{,}6)=(40-j30)\ \text{A}.$

5. Tensione indotta al secondario
$E_2=V_2+I_2(R_{2eq}+jX_{2eq}),$
$E_2=240+(40-j30)(0{,}052+j0{,}09)=244{,}7+j2\ \text{V}.$

6. Tensione primaria
Rapporto di trasformazione:
$m=\frac{E_1}{E_2}=\frac{V_{1n}}{V_{20}}=\frac{1000}{250}=4, \qquad E_1=mE_2=4(244{,}7+j2)=978{,}8+j8\ \text{V}.$

7. Correnti magnetizzanti
$I_\alpha=\frac{V_1}{R_0}=\frac{978{,}8+j8}{2666}=0{,}367+j0{,}003\ \text{A},$
$I_\mu=\frac{V_1}{jX_0}=\frac{978{,}8+j8}{j544}=(0{,}014+j1{,}8)\ \text{A}.$

8. Corrente primaria totale
$I_1=I_1'+I_0=I_2/m+I_\alpha+I_\mu,$
$I_1=\frac{40-j30}{4}+0{,}367+j0{,}003+0{,}014+j1{,}8,$

$I_1=(10-7{,}5)+(0{,}38+j1{,}8)=(10{,}38-j5{,}7)\ \text{A}.$

Modulo e fase:
$I_1=11{,}8\ \text{A}\ \angle -29^\circ.$

9. Fattore di potenza del primario
$\cos\varphi_1=\cos(-29^\circ)=0{,}87.$

✅ Risultati finali
$V_1\approx 979\ \text{V},\quad I_1\approx 11{,}8\ \text{A},\quad \cos\varphi_1\approx 0{,}87,$
$R_{2eq}=0{,}052\ \Omega,\quad X_{2eq}=0{,}09\ \Omega,\quad R_0=2{,}67\ \text{k}\Omega,\quad X_0=0{,}544\ \text{k}\Omega.$

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