Esercizio 5

DiAlfredo Di Fiore

Si può subito calcolare la reattanza induttiva dato che \omega = 10^{4}\ \text{r/s}.

X_L=\omega L=20\cdot 10^{-3}\cdot 10^{4}=200,\Omega è possibile calcolare il valore massimo della corrente:

In termini vettoriali V_{o_\text{MAX}}=20+j0=20,\text{V} mentre l’impedenza sul ramo di uscita può essere espressa anche in forma polare:

250+j200=320{,}15\cdot e^{j38^\circ}

I_{\text{MAX}} =\frac{V_{o_\text{MAX}}}{R+jX_L} =\frac{20\cdot e^{j0}}{320{,}15\cdot e^{j38^\circ}} =62{,}5\cdot e^{-j38^\circ}\ \text{mA} \ \ \Rightarrow\ \ I=\frac{I_{\text{MAX}}}{\sqrt{2}}=44{,}2\ \text{mA}

La corrente è in ritardo rispetto alla V_o di 38^\circ.
Se assumiamo che la I abbia fase 0:

I=62{,}5\ \sin(10^{4}t)\ \text{mA} \ \ \Rightarrow\ \ V_o=20\ \sin\bigl(10^{4}t+38^\circ\bigr)\ \text{V}

I vettori V_o e V_i sono certamente disposti in questo modo, infatti, ambedue hanno la stessa proiezione ortogonale sull’asse orizzontale coincidente con la tensione V_R: parte reale di ambedue i vettori; inoltre vale la legge di Kirchoff:

\overline{V_i}=\overline{V_C}+\overline{V_o}

e qui bisogna considerare che il vettore:
V_C=-jX_C I
è verticale e diretto verso il basso. Il modulo di V_i dovrebbe essere facile da ottenere; dalla figura si deduce:

V_o\cos 38^\circ=V_i\cos 18^\circ \ \ \Rightarrow\ \ V_i=\frac{V_o\cos 38^\circ}{\cos 18^\circ}=16{,}57\ \text{V}

poi sempre per la trigonometria:

V_C=V_o\sin 38^\circ - V_i\sin 18^\circ =20\sin 38^\circ - 16{,}57\sin 18^\circ =7{,}2

quindi:

V_C=-jX_C I \ \ \Rightarrow\ \ -j,7{,}2=-j,X_C,62{,}5 \ \ \Rightarrow\ \ X_C=\frac{7{,}2}{62{,}5}=0{,}115\ \text{k}\Omega

essendo X_C=115,\Omega con X_C=\dfrac{1}{\omega C}
\Rightarrow\ C=\frac{1}{\omega X_C} =\frac{1}{115\cdot 10^{4}}

avremo infine
C=0{,}87\cdot 10^{-6}\ \text{F}=0{,}87\ \mu\text{F}

Ricordiamoci che per il calcolo delle potenze sono necessari i valori efficaci della V e della I:

P=RI^{2}=250\cdot (0{,}0442)^{2} =0{,}48841\ \text{W}=488{,}4\ \text{mW}

Q_C=X_C I^{2} =115\cdot (0{,}0442)^{2} =0{,}2246\ \text{W}=224{,}6\ \text{mVAR}

Q_L=X_L I^{2} =200\cdot (0{,}0442)^{2} =0{,}3907\ \text{W}=390{,}7\ \text{mVAR}

La potenza reattiva complessiva, considerando positiva quella capacitiva e negativa quella induttiva:

Q=Q_C-Q_L=224{,}6-390{,}7=-166{,}1\ \text{mVAR}

S=\sqrt{P^{2}+Q^{2}} =\sqrt{(488{,}4)^{2}+(166{,}1)^{2}} =515{,}8\ \text{mVA}

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