Esercizio 25

DiAlfredo Di Fiore

In un trasformatore si conosce: \(V_1=V_{1n}=220\text{ V}\); \(S_n=500\text{ VA}\); \(\cos\varphi_{cc}=0{,}56\); \(P_0\%=5\%\); \(\cos\varphi_0=0{,}3\) ; \(K_0=5\) ; \(P_{cc}\%=10\%\).
Sui morsetti del secondario viene assorbita una potenza \(P_2=300\text{ W}\) con \(I_2=9{,}5\text{ A}\). Calcola \(V_{20},\,R_0,\,X_0\) ed inoltre i dati pertinenti al carico \(R,\,X,\,V_2\), ed anche il rendimento della macchina.

soluzione

Essendo il problema un poco articolato facciamo l’elenco delle formule che potrebbero esserci utili:

S_n=V_{20}I_{2n}=V_{1n}I_{1n} \qquad S_0 = V_{1n} I_0

S_{cc}=V_{cc}I_n \qquad P_{cc}=V_{cc}I_{cc}\cos\varphi_{cc}

P_0 = V_{1n} I_0 \cos\varphi_0 \qquad P_0%=\frac{P_0}{S_n}\cdot 100 \qquad P_{cc}%=\frac{P_{cc}}{S_n}\cdot 100

Utilizzando queste formule (ed anche altre) avremo:

V_{20}=\frac{V_{1n}}{K_0}=\frac{220}{5}=44\ \text{V}
P_0=S_n\cdot\bigl(P_0\%\bigr)=500\cdot\frac{5}{100}=25\ \mathrm{W}

I_0=\frac{P_0}{V_{1n}\cos\varphi_0} \ \Rightarrow I_0=\frac{25}{220\cdot 0{,}3}=0{,}378\ \text{A}

S_0=V_1 I_0=0{,}378\cdot 220=83{,}3\ \text{VA} \quad \text{(ma si poteva anche fare }S_0=\frac{P_0}{\cos\varphi_0}\text{)}

Q_0=\sqrt{S_0^2-P_0^2}=\sqrt{83{,}3^2-25^2}=79{,}45\ \text{VAR}

R_0=\frac{V_{1n}^2}{P_0}\ \Rightarrow R_0=\frac{V_{1n}^2}{P_0}=\frac{220^2}{25}=1936\ \Omega

X_0=\frac{V_{1n}^2}{Q_0} \ \Rightarrow X_0=\frac{220^2}{79{,}4}=609\ \Omega

I_{2n}=\frac{S_n}{V_{20}}=\frac{500}{44}=11{,}36\ \text{A}

P_{cc}=S_n\cdot\frac{P_{cc}\%}{100}=500\cdot\frac{10}{100}=50\ \text{W}

P_{cc}=S_{cc}\cos\varphi_{cc} \ \Rightarrow S_{cc}=\frac{P_{cc}}{\cos\varphi_{cc}} \ \Rightarrow S_{cc}=\frac{50}{0{,}56}=89{,}3\ \text{VA}

Q_{cc}=\sqrt{S_{cc}^2-P_{cc}^2} =\sqrt{89{,}3^2-50^2} =74\ \text{VAR}

X_{2eq}=\frac{Q_{cc}}{I_{2n}^2} =\frac{74}{11{,}36^2} =0{,}57\ \Omega

R_{2eq}=\frac{P_{cc}}{I_{2n}^2} =\frac{50}{11{,}36^2} =0{,}38\ \Omega

Ai capi del carico ci sarà:

R=\frac{P_2}{I_2^2} =\frac{300}{9{,}5^2} =3{,}324\ \Omega

Si sa che: \(m=\dfrac{E_1}{E_2}\) e si nota \(E_1=V_{1n}\). Per cui:

K_0=\frac{V_{1n}}{V_{20}}=\frac{V_1}{E_2} \qquad E_2=V_{20}=\frac{V_1}{K_0}=\frac{220}{5}=44\ \text{V}

Sul secondario ci sarà la resistenza totale:

R_T=R_{2eq}+R=0{,}38+3{,}324=3{,}7\ \Omega

X_T=X_{2eq}+X=0{,}57+X=\ ?

…e questo dato, proprio non lo abbiamo. Usando un piccolo artificio:

|E_2|=|\overline{Z_T}|,I_2 \ \Rightarrow E_2^2=Z_T^2\cdot I_2^2

\left(\frac{44}{9{,}5}\right)^2 =\left[,3{,}7^2+(X+0{,}57)^2,\right]

21{,}45=13{,}69+(X+0{,}57)^2 \qquad 7{,}76=(X+0{,}57)^2 \qquad X=\sqrt{7{,}76}-0{,}57=2{,}22\ \Omega

P_n=V_2 I_2\cos\varphi

Ma \(\cos\varphi\) può essere espresso come

\cos\varphi=\frac{R}{\sqrt{R^2+X^2}} =\frac{3{,}3}{\sqrt{3{,}3^2+2{,}22^2}} =0{,}832

|V_2|=I_2\sqrt{R^2+X^2} =9{,}5\sqrt{3{,}3^2+2{,}22^2} =37{,}67\ \text{V}

P_2=V_2 I_2\cos\varphi =37{,}67\cdot 9{,}5\cdot 0{,}832 =297{,}7\ \text{W}

Le perdite nel rame sono:

P_{cu}=\left(\frac{I_2}{I_{2n}}\right)^2 P_{cc} =\left(\frac{9{,}5}{11{,}36}\right)^2\cdot 50 =35\ \text{W}

con \(P_0=25\text{ W}\).

\eta=\frac{P_2}{P_2+P_{cu}+P_0} =\frac{297{,}7}{297{,}7+35+25} =0{,}83

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