In un trasformatore si conosce: \(\(V_1=V_{1n}=220\text{ V}\)\); \(\(S_n=500\text{ VA}\)\); \(\(\cos\varphi_{cc}=0{,}56\)\); \(\(P_0\%=5\%\)\); \(\(\cos\varphi_0=0{,}3\)\) ; \(\(K_0=5\)\) ; \(\(P_{cc}\%=10\%\)\).
Sui morsetti del secondario viene assorbita una potenza \(\(P_2=300\text{ W}\)\) con \(\(I_2=9{,}5\text{ A}\)\). Calcola \(\(V_{20},\,R_0,\,X_0\)\) ed inoltre i dati pertinenti al carico \(\(R,\,X,\,V_2\)\), ed anche il rendimento della macchina.
soluzione
Essendo il problema un poco articolato facciamo l’elenco delle formule che potrebbero esserci utili:
\(S_n=V_{20}I_{2n}=V_{1n}I_{1n}
\qquad
S_0 = V_{1n} I_0
\) \(
S_{cc}=V_{cc}I_n
\qquad
P_{cc}=V_{cc}I_{cc}\cos\varphi_{cc}
\) \(
P_0 = V_{1n} I_0 \cos\varphi_0
\qquad
P_0%=\frac{P_0}{S_n}\cdot 100
\qquad
P_{cc}%=\frac{P_{cc}}{S_n}\cdot 100
\)
Utilizzando queste formule (ed anche altre) avremo:
\(
V_{20}=\frac{V_{1n}}{K_0}=\frac{220}{5}=44\ \text{V}
\)
\(
P_0=S_n\cdot\bigl(P_0\%\bigr)=500\cdot\frac{5}{100}=25\ \mathrm{W}
\)
I_0=\frac{P_0}{V_{1n}\cos\varphi_0}
\ \Rightarrow
I_0=\frac{25}{220\cdot 0{,}3}=0{,}378\ \text{A}
\) \(
S_0=V_1 I_0=0{,}378\cdot 220=83{,}3\ \text{VA}
\quad
\text{(ma si poteva anche fare }S_0=\frac{P_0}{\cos\varphi_0}\text{)}
\) \(
Q_0=\sqrt{S_0^2-P_0^2}=\sqrt{83{,}3^2-25^2}=79{,}45\ \text{VAR}
\) \(
R_0=\frac{V_{1n}^2}{P_0}\ \Rightarrow
R_0=\frac{V_{1n}^2}{P_0}=\frac{220^2}{25}=1936\ \Omega
\) \(
X_0=\frac{V_{1n}^2}{Q_0}
\ \Rightarrow
X_0=\frac{220^2}{79{,}4}=609\ \Omega
\) \(
I_{2n}=\frac{S_n}{V_{20}}=\frac{500}{44}=11{,}36\ \text{A}
\) \(
P_{cc}=S_n\cdot\frac{P_{cc}\%}{100}=500\cdot\frac{10}{100}=50\ \text{W}
\) \(
P_{cc}=S_{cc}\cos\varphi_{cc}
\ \Rightarrow
S_{cc}=\frac{P_{cc}}{\cos\varphi_{cc}}
\ \Rightarrow
S_{cc}=\frac{50}{0{,}56}=89{,}3\ \text{VA}
\) \(
Q_{cc}=\sqrt{S_{cc}^2-P_{cc}^2}
=\sqrt{89{,}3^2-50^2}
=74\ \text{VAR}
\) \(
X_{2eq}=\frac{Q_{cc}}{I_{2n}^2}
=\frac{74}{11{,}36^2}
=0{,}57\ \Omega
\) \(
R_{2eq}=\frac{P_{cc}}{I_{2n}^2}
=\frac{50}{11{,}36^2}
=0{,}38\ \Omega
\)
Ai capi del carico ci sarà:
\(R=\frac{P_2}{I_2^2}
=\frac{300}{9{,}5^2}
=3{,}324\ \Omega
\)
Si sa che: \(\(m=\dfrac{E_1}{E_2}\)\) e si nota \(\(E_1=V_{1n}\)\). Per cui:
\(K_0=\frac{V_{1n}}{V_{20}}=\frac{V_1}{E_2}
\qquad
E_2=V_{20}=\frac{V_1}{K_0}=\frac{220}{5}=44\ \text{V}
\)
Sul secondario ci sarà la resistenza totale:
\(R_T=R_{2eq}+R=0{,}38+3{,}324=3{,}7\ \Omega
\) \(
X_T=X_{2eq}+X=0{,}57+X=\ ?
\)
…e questo dato, proprio non lo abbiamo. Usando un piccolo artificio:
\(|E_2|=|\overline{Z_T}|,I_2
\ \Rightarrow
E_2^2=Z_T^2\cdot I_2^2
\) \(
\left(\frac{44}{9{,}5}\right)^2
=\left[,3{,}7^2+(X+0{,}57)^2,\right]
\) \(
21{,}45=13{,}69+(X+0{,}57)^2
\qquad
7{,}76=(X+0{,}57)^2
\qquad
X=\sqrt{7{,}76}-0{,}57=2{,}22\ \Omega
\) \(
P_n=V_2 I_2\cos\varphi
\)
Ma \(\(\cos\varphi\)\) può essere espresso come
\(\cos\varphi=\frac{R}{\sqrt{R^2+X^2}}
=\frac{3{,}3}{\sqrt{3{,}3^2+2{,}22^2}}
=0{,}832
\) \(
|V_2|=I_2\sqrt{R^2+X^2}
=9{,}5\sqrt{3{,}3^2+2{,}22^2}
=37{,}67\ \text{V}
\) \(
P_2=V_2 I_2\cos\varphi
=37{,}67\cdot 9{,}5\cdot 0{,}832
=297{,}7\ \text{W}
\)
Le perdite nel rame sono:
\(P_{cu}=\left(\frac{I_2}{I_{2n}}\right)^2 P_{cc}
=\left(\frac{9{,}5}{11{,}36}\right)^2\cdot 50
=35\ \text{W}
\)
con \(\(P_0=25\text{ W}\)\).
\(\eta=\frac{P_2}{P_2+P_{cu}+P_0}
=\frac{297{,}7}{297{,}7+35+25}
=0{,}83
\)